Produit restreint

En mathématiques, le produit restreint est une construction de la théorie des groupes topologiques.

Soit ${\displaystyle I}$ un ensemble ; ${\displaystyle S}$ un sous-ensemble fini de ${\displaystyle I}$. Si ${\displaystyle G_{i}}$ est la donnée d'un groupe localement compact pour chaque ${\displaystyle i\in I}$, et ${\displaystyle K_{i}\subset G_{i}}$ un sous-groupe compact ouvert pour chaque ${\displaystyle i\in I\setminus S}$, alors le produit restreint

${\displaystyle \prod _{i}\nolimits 'G_{i}\,}$

est le sous-ensemble du produit de ${\displaystyle G_{i}}$ composé de tous les éléments ${\displaystyle (g_{i})_{i\in I}}$ tel que ${\displaystyle g_{i}\in K_{i}}$ pour tous sauf un nombre fini ${\displaystyle i\in I\setminus S}$.

On muni ce groupe de la topologie dont une base d'ensembles ouverts sont de la forme

${\displaystyle \prod _{i}A_{i}\,,}$

où ${\displaystyle A_{i}}$ est ouvert dans ${\displaystyle G_{i}}$ et ${\displaystyle A_{i}=K_{i}}$ pour tous sauf un nombre fini ${\displaystyle i}$.

On peut facilement montrer que le produit restreint est lui-même un groupe localement compact. L'exemple le plus connu de cette construction est celui de l'anneau adélique d'un corps global.

Références

• A. Fröhlich et J. W. Cassels, Algebraic number theory, Boston, MA, Academic Press, 1967 (ISBN 978-0-12-163251-9).
• Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory, vol. 322, Berlin, Springer-Verlag, 1999 (ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, zbMATH 0956.11021).

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